Egon, az egér

Blogposztok az egérlyukból

4-21-21
2022. április 18. írta: Egon, az egér

4-21-21

Amálka és Béla egy délután unatkoznak, és kitalálják, hogy kivonós játékot játszanak. Kiraknak egy nagy halom chipszet az asztalra, és megadnak pozitív egész számoknak egy véges nagy A halmazát. Ezekután felváltva vesznek el a chipszekből, minden lépésben valamely ai∈ A darab chipszet. A játékot az nyeri meg, aki utoljára tud venni, mert a maradék chipszek száma kevesebb, mint a nagy A halmaz minimuma. Definiáljuk az  f(n) függvényt úgy, hogy legyen 1, ha darab chipsszel Amálkának van nyerő stratégiája, és legyen 0, ha Bélának van nyerő stratégiája. Ekkor könnyű belátni, hogy az f(n) függvényt a

f(n) = 1- min a∈ A{f(n-a)}

dinamikus programozási rekurzió adja meg, f(n)=0 minden n <  min{A} kezdeti értékekkel. Egyszerű skatulyaelvből adódik, hogy f(n) idővel periódikus lesz, és a periódus hossza nem lehet hosszabb, mint 2max{A}. A tipikus periódushossz lineáris függvénye max{A}-nak, és nem tudjuk, hogy van-e exponenciális méretű periódus, bár van egy sejtés, hogy létezhet. Pl. ha a nagy A halmaz kételemű, és az elemei a1 és a2, akkor a periódus szinte mindig  a1+a2, kivéve, ha a2 páratlan többszöröse a1-nek, mert akkor 2a1

Amálka és Béla ezt nem tartja túl izgalmasnak, így elkezdik azt vizsgálni, hogy mi van akkor, ha f(n) kezdeti értékeit változtatják. Ez már izgalmasabb akkor is, ha a nagy A halmaz kételemű. Ha jelöli a1 és a2 legnagyobb közös osztóját, akkor a periódus bármelyik g*p szám lehet, ahol p osztója (a1 + a2)/g-nek, kivéve, hogy p nem lehet 1, 4 és 6. Amálka és Béla ezt egy darabig nem értik, aztán rájönnek, hogy erről a legkisebb Pisot–Vijayaraghavan szám tehet, ami már majdnem olyan mesebeli, mint a legkisebb királyfi, azonban a legkisebb Pisot-Vijayaraghavan szám ennél prózaibb, a becsületes polgári neve az, hogy műanyag szám. Ha az a1 és a2 számok reatív prímek, akkor a lehetséges periódusok számát a Perrin-szekvencia k-adik eleme adja meg, ahol ka1 + a2. Ez önmagában is izgalmas, a Perrin-szekvencia k-adik eleme osztható k-val, ha k prímszám. De nem csak akkor, hanem néhány összetett esetén is. Ilyen ún. Perrin-álprímek végtelenül sokan vannak, bár nem túl gyakoriak, a legkisebb Perrin-álprím 271441.

Ez mind nagyon szép, de Amálka és Béla még izgalmasabb dolgokra vágyik. Észreveszik, hogy ha változók csak 0 és 1 értéket vehetnek fel, akkor változók egy halmazának a minimuma megegyezik a halmazban levő elemek szorzatával. Azaz a dinamikus programozási rekurziót lehet írni úgy is, hogy 

f(n) = 1- ∏ a ∈ A{f(n-a)}

Ezt a diszkrét idejű dinamikát most már tetszőleges komplex számokra ki lehet terjeszteni, és itt minden elképzelhető. Az könnyen látszik, hogy a dinamika lehet divergens, és vannak fixpontok is, pl. ha a nagy A halmaz háromelemű, akkor az egyetlen valós fixpont az pont a legkisebb Pisot-Vijayaraghavan szám reciproka, de ez csak valami véletlen eredménye. Az kevésbé világos, hogy tetszőleges hosszú periódusok lehetségesek, de meglepő lenne, ha lenne tiltott/lehetetlen periódushossz.

Mindenesetre a tapasztalat azt mutatja, hogy a komplex számok azon részhalmaza, amelyekre, mint kezdeti értékekre a dinamika nem divergens, nem túl meglepő módon egy fraktált alkotnak, bármi is legyen a nagy A  halmaz, csak legyen legalább két eleme. Amálka és Béla a 4-et és a 21-et választja a nagy A halmazba, mert Egon csaja április 21-én született, és a 21-et megduplázzák, mert így lesz izgalmas a dinamika. Definiálnak egy kék színskálát, amely a divergencia sebességét mutatja meg, egy zöld skálán adják meg azt az eltolást, amely leginkább periodicitást mutat, a piros skálán meg egyfajta anti-autokorrelációt számolnak, tökéletes autokorrelációnál az érték nulla, és azt az eltolást adják meg, mint leginkább periódust, amelyre ez az anti-autokorrelciós mérőszám minimális. 

Ebből rajzolnak egy szép képet, melynek a bal felső sarka -0.87-0.4i, a jobb alsó sarka meg -0.6+0.2i (igen, a valós tengely megy felülről lefelé, a képzetes meg balról jobbra). Egon meg kinyomtatja, bekeretezteti, és ezt adja a csajának születésnapi ajándéknak, mert egy ekkora kockafej mi más ajándékot is adhatna.

4-21-21.png

Update: jól mutat a falán, és tetszik neki.

img_20220419_083736_350.jpg

 

 

A bejegyzés trackback címe:

https://egonazeger.blog.hu/api/trackback/id/tr1017810155

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Lorrh 2022.04.18. 20:44:30

Szerintem a diszkrét idejű dinamikát csak a nonlineáris végeselemekre lehet permuttálni, egyébként mínusz végtelen kerül a tizenharmadik gyök alá. Amit még a komplex számok körében sem értelmezünk. ÉS ez még csak nem is falszifikálható!

szociál · szociesatjukol.blog.hu 2022.04.18. 20:59:15

Tiszta sor, azt hittem bonyolultabb lesz, de szerencsere nem :)
süti beállítások módosítása